\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\begin{document}
\subsection*{Esperanza matem\'atica}
$$ E(X) = \sum_{x}{x . f_{X}(x)} = \mu_{x} $$
\subsection*{Varianza}
$$\displaystyle V(X) = E([X - E(X)]^{2}) = E(X)^{2} - [E(X)]^{2}$$
\subsection*{Distribución discreta uniforme}
$f(x) = \frac{1}{n}, x = 1, 2, ..., n$
\\Si $X \in U(\frac{1}{n}) \Rightarrow \mu = \frac{x_{1} + x_{n}}{2}$ y $\sigma^{2} = \frac{(x_{n} - x_{1} + 1)^{2} - 1 }{12}$
\subsection*{F\'ormula de Bernoulli}
La probabilidad de que A ocurra \textit{k} veces en \textit{n} ensayos de Bernoulli es:
$$P_{n}(k) = \binom{n}{k} p^{k} q^{n - k}$$
$$(p + q)^{n} = \sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k} p^{k} q^{n - k}}$$
\subsection*{Distribuci\'on de Bernoulli}
Si $X \in B_{e}(p) \Rightarrow \mu = p$ y $\sigma^{2} = p.q$\
\subsection*{Distribuci\'on binomial}
$f(x) = \binom{n}{x}.p^{x}.q^{n-x}, x = 0, 1, ..., n$ 
\\Si $X \in B_{i}(n, p) \Rightarrow \mu = n.p$ y $\sigma^{2} = n.p.q$
\subsection*{Distribuci\'on Geom\'etrica}
$f(x) = p.q^{x - 1}; x \in \mathbb{N}$
\\Si $X \in G(p) \Rightarrow \mu = \frac{1}{p}$ y $\sigma^{2} = 1-q^{x}$
\\Con $Y = X - 1$
\\$f(y) = p.q^{y}; y \in \mathbb{N}$
\\Si $Y \in G(p) \Rightarrow \mu = \frac{q}{p}$ y $\sigma^{2} = \frac{q}{p^{2}}$\
\subsection*{Distribuci\'on binomial negativa}
$f(x) = \binom{x-1}{r-1}.p^{r}.q^{x-r}; x \geq r$ 
\\Si $X \in B_{i}N(p, r) \Rightarrow \mu = \frac{r}{p}$ y $\sigma^{2} = \frac{r.q}{p^{2}}$
\subsection*{Distribuci\'on hipergeom\'etrica}
$f(x) = \frac{\binom{k}{x}.\binom{N - k}{n - x}}{\binom{N}{n}}; x = 0, ..., min(k, n)$
\\Si $X \in H(N, n, k) \Rightarrow \mu = n.p$, donde $p = \frac{k}{N}$ y $\sigma^{2} = n.p.q.\frac{(N - n)}{(N -1)}$\
\subsection*{F\'ormula asint\'otica de Poisson}
La funci\'on $\varphi(x)$ se llama \textit{funci\'on aproximada asint\'oticamente} a la $f(x)$ si:
\\$\displaystyle\lim_{x\to{+}\infty}{\frac{f(x)}{\varphi(x)}} = 1$ 
\\Si $n.p = \lambda$ constante, entonces la f\'ormula de Bernoulli se puede satisfacer con la f\'ormula asint\'otica de Poisson
\\$\displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}{P_{n}(k)} = \frac{\lambda.e^{-x}}{k!}$
\subsection*{Distribuci\'on de Poisson}
$\displaystyle f(x) = \frac{e^{-\lambda}.\lambda^{x}}{x!}; x \in \mathbb{N}_{0}$
\\Si $X \in P(\lambda) \Rightarrow \mu = \lambda$ y $\sigma^{2} = \lambda$
\subsection*{Teorema de Chebyschev}
Sea una distribuci\'on de probabilidad con $\mu$ y $\sigma$
\\$$\displaystyle P(|X - \mu| \geq k.\sigma) \leq \frac{1}{k^{2}}$$
\subsubsection*{Corolario}
$$\displaystyle P(|X - \mu| \geq k.\sigma) > 1 - \frac{1}{k^{2}}$$
\end{document}